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Yo !
J'inaugure le forum de matière grise pour poser la question suivante :
Comment fait-on pour prouver que cos(x) = x² n'a que deux uniques solutions sur R ?
Merci.

Je peux tenter un truc à l’arrache mais ça sera pas bien rédigé x)

on sait que cos(x) < 1 et que x² > 1 sur ]-inf ; -1[ U ]1 ; inf[
donc cos(x) - x² < 0 sur ]-inf ; -1[ U ]1 ; inf[
x² continue et strictement croissante sur [0 ; 1] et 0²=0 et 1²=1
cos(x) continue et strictement décroissante sur [0 ; 1] et cos(0)=1 et cos(1) ~= 0.54
donc cos(x) = x² a une unique solution sur [0 ; 1] (je pense pas qu'on a le droit de balancer ça comme ça mais bon..)
cos(x) et x² sont paires donc on a aussi une solution sur [-1 ; 0]
donc deux solutions sur R

Bon, là c'était très bourrin, je te dis si je trouve une solution plus propre ^^


EDIT : Bon, j'ai trouvé une solution beaucoup plus propre :

f(x) = cos(x) - x²
f'(x) = -sin(x) - 2x (f(x) est dérivable comme somme de fonctions dérivables)
f''(x) = -cos(x) - 2 (f'(x) est dérivable comme somme de fonctions dérivables)

-cos(x) < 1 donc f''(x) est strictement négatif
donc f'(x) est strictement décroissante
et f'(x) est continue
et f'(0) = 0
donc f'(x) positive sur R*- et négative sur R*+
donc f(x) est strictement croissante sur R*- et strictement décroissante sur R*+
et f(x) continue (comme somme de fonctions continues)
et lim(-inf) f(x) = -inf
et lim(+inf) f(x) = -inf
et f(0) = 1
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 a une solution sur R*- et une solution sur R*+
donc cos(x) = x² a deux solutions sur R

voilà, ça c'est mieux =p

"-cos(x) < 1 donc f''(x) est strictement négatif" Hum, -cos(x) peut être égal à 1 donc f''(x) n'est peut-être pas strictement négatif... Enfin pas grave, merci sinon, je n'avais pas pensé à faire intervenir les dérivées secondes car ça me semblait trop long ; ça me fait donc 3 points en moins à mon partiel, mais je saurai pour la prochaine fois au moins... x)

-cos(x) peut être égal à 1 mais il y a une -2 après donc f''(x) sera forcement négatif ^^
mais tu as raison, j'aurais dû marquer -cos(x) inférieur ou égal à 1 (même si ça ne change en rien le raisonnement)
pour la dérivée seconde, on est peut-être pas obligés de l'utiliser mais c'est la solution la plus simple que j'ai trouvé =p

Merci de rester poli et de respecter le règlement du forum

http://www.noelshack.com/2012-43-1351285587-android-image-10-30-2012.jpg
http://www.noelshack.com/2012-43-1351285684-android-image-10-30-2012.jpg
Jy arrive pas...
Les trucs en haut sur la deuxieme image ont rien a voir

L'ordre des questions me parait bizarre

Dans KEF :
G appartient à (KF)
D appartient à (KE)
KG/KF = 0.5
KD/KE = 0.5
donc KG/KF = KD/KE

donc d'après la réciproque du théorème de thalès, DG // EF (question 2)

et d'après le théorème de thalès, DG/EF = KG/KF = 0.5
donc DG = EF*0.5 = 3cm (question 1)

DG // EF et EF // IF
donc DG // IF (question 2)

pour la question 3 tu fais le théorème de thalès dans IHE (tu connais le rapport EG/EH)

Merci beaucoup
Voila pourquoi je trouvais pas, c'est pas le bon ordre :@

En fait ce cas là est particulier, c'est le théorème des milieux qui donne simultanément le parallélisme entre les droites et le rapport double des longueurs des segments (le raisonnement est exactement celui qu'a fait Tache : réciproque du théorème de Thalès puis théorème de Thalès, mais du coup c'est je pense ce qui était attendu ici et qui justifie qu'on peut parler de la longueur du segment sans parler du parallélisme). Mais bon quoi qu'il en soit je trouve aussi l'exo mal fait, faire un cas particulier où (DG) est perpendiculaire à (EK) et ne pas l'utiliser dans l'exercice c'est complètement idiot, ça induit en erreur. Tu peux essayer de calculer les longueurs IK et KG par exemple si tu veux exploiter toutes les propriétés géométriques particulières de la figure, en justifiant bien sûr préalablement que (DG) est perpendiculaire à (EK).

Hello! j'ai besoin d'un peu d'aide sur un devoir maison (non noté, mais bon) de Mathématiques donc.

Je suis en Première S, pour que vous sachiez ce qui m'est accessible.

Bref, voici l'énoncé :

A, B et C sont trois points non alignés.
Les points D, E et F sont définis par :

(Je vais écrire les vecteur sous cette forme, pour plus de lisibilité : v(AB) = vecteur AB)

v(AD) = 3v(AB)
v(AE) = 3/2v(AC)
v(BF) = 2v(BC)

Prouver que D, E et F sont alignés.

Mon soucis, c'est que j'ai fais la représentation pour voir un point, je vois bien les points, mais je ne vois pas du tout comment commencer...
Si vous pourriez me donner une piste, me lancer, enfin bref, vous me comprenez!

Merci d'avance.

GamerNaab, tu as essayé avec Chasles ? Si tu l'as déjà vu. Je sais pas ce que ça peut donner mais c'est le premier truc qui me vient en tête

Ouep, je sais que c'est ça que je dois faire. Mais faut manipuler les vecteurs, les décomposer pour en trouver des qui nous "arrange".
Le soucis c'est que je ne vois pas comment démarrer.

Bon, je crois qu'il y a une politique d'aide aux devoirs ici donc je vais pas te donner toutes les réponses ^^

• Pour prouver que les points X, Y et Z sont alignés, il faut réussir à montrer v(XY) = kv(XZ) avec k un réel.

• v(XY) + v(XZ) = v(XY) - v(ZX) = v(ZY). Ensuite, si tu sais que v(XY)=v(u) et v(XZ) = v(v) (v(u) et v(v) deux vecteurs quelconques) alors v(ZY) = v(u) + v(v). En arrangeant un peu, tu devrais trouver ce que tu cherches

Si ça te paraissais évident et que tu trouves toujours pas, je peux aller plus loin dans mes indices si tu veux ^^

Tient, j'ai scanné la figure (à moins que j'ai fais des erreurs ? :3)

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/15/scan0003yg.jpg/

J'avais au début pensé à faire comme tu dis.

C'est à dire :

Trouver le vecteur DE, puis le vecteur DF, et ensuite utiliser la proportionnalité (x'y - xy' = 0) ou la technique du coefficient directeur pour voir si ils sont colinéaires. Ensuite interviendrait la propriété de Colinéaires => Parallèles.

Du coup j'voulais faire :

v(DE) et v(DF) sont colinéaires si : v(DF) = k.v(DE)

On détermine donc v(DE) et v(DF).

v(DE) = v(DA) + v(AE)
= -3v(AB) + 3/2v(AC)
= 3v(BA) + 3/2v(AC)
= 9/2v(BC)

v(DF) = v(DB) + v (BF)
= -2/3v(AD) + 2v(BC)

Mais du coup, je vois pas quoi faire de tout ça ensuite...

ça fait plaisir de retrouver les vecteurs quand même ^^

T'es bien parti pourtant :/

Bon, une petite astuce pour simplifier la notation (c'est pas une astuce mais ça rend plus lisible) : évite de noter -AB, privilégie plutôt BA

Ce qui donne d'après ce que tu me dis :

• DE = 3 (BA + 1/2 AC) (mettre en facteur c'est le bien) Mais sinon, c'est exactement ce qu'il fallait faire

• La, c'est pô bon. Faut faire : DF = DA + AF. Un petite opération magique sur AF, est le tour est joué

Essayes de rester calme et poli. Merci.

C'est pas digne d'un modérateur ça... N'est-ce pas Taeko?

Au prochain post HS je ban une semaine.

GamerNaab a écrit:

v(DE) = 3v(BA) + 3/2v(AC)
= 9/2v(BC)

Attention sur cette chose là, on a fortement envie d'écrire ça mais ce n'est pas vrai. La raison est que Chasles s'applique uniquement lorsque les coefficients devant les vecteurs sont les mêmes. Ici ce n'est pas le cas car il y a un 3 devant v(BA) et un 3/2 devant v(AC). D'ailleurs si tu factorises comme l'a suggéré Tchus, tu te rends peut-être mieux compte que v(BA) + 1/2 v(AC) n'est pas une situation dans laquelle on peut appliquer Chasles directement.

Alors sinon quelque chose de plus général sur ce genre d'exercices. C'est globalement toujours la même chose (Chasles) mais si on ne fait pas les manips qu'il faut on peut ne jamais s'en sortir. C'est typiquement le genre d'exos où la correction paraît évidente mais on se demande comment on pouvait savoir qu'il fallait appliquer ces manips-là et pas d'autres.
Alors y'a une méthode générale qui marche presque à tous les coups, c'est d'exprimer tous les vecteurs en fonction de 2 vecteurs non colinéaires bien choisis (c'est l'idée de "base", ou de "repère" si vous voulez). Ici, le fait que A, B et C soient non alignés oriente fortement le choix vers deux vecteurs parmi v(AB), v(AC) et v(BC) (ces vecteurs étant deux à deux non colinéaires). Si tu choisis v(AB) et v(AC) par exemple, le jeu c'est ensuite d'exprimer tous les autres vecteurs en fonction de ceux-là (y compris v(BC)). Au final, si tout se passe bien (et les exercices sont en général faits pour que ça se passe bien), tu devrais arriver à quelque chose du genre v(DE) = a * v(AB) + b * v(AC) et v(DF) = k(a * v(AB) + b * v(AC)) avec k, a et b des réels.

C'est une méthode qui n'est pas forcément la plus rapide (car tu fixes au début les deux vecteurs en fonction desquels tu vas exprimer les autres, et ce choix n'est pas forcément le meilleur) mais au moins t'es (presque) sûr d'aboutir et de ne pas t'éparpiller.

Sinon à propos de ça :

Tchus a écrit:

Bon, une petite astuce pour simplifier la notation (c'est pas une astuce mais ça rend plus lisible) : évite de noter -AB, privilégie plutôt BA

je suis d'accord pour dire que ça permet de voir plus facilement les relations de Chasles mais en revanche c'est moins clair pour simplifier des expressions comme 2v(AB) + 3v(BA) par exemple. Perso je préfère garder toujours le même sens et mettre des coefficients négatifs, c'est chacun.

Je me demandais un truc, est-ce que ça aurait un sens graphique (je penserai à une rotation mais j'en sais rien) de faire un produit d'un complexe sur un vecteur.
Parce que C est un corps donc il est possible de faire un ev sur C, donc c'est algébriquement sensé, mais après, est-ce que c'est graphiquement sensé, telle est ma question ^^.

Tout dépend ce que tu entends par vecteur.
Déjà la multiplication par un complexe ne peut pas être une loi externe sur R^n (simplement parce que si z est non réel et a est réel, z.a est non réel, donc c'est pas stable). Donc si on veut rester dans des espaces vectoriels "classiques", on est obligés de se placer dans C^n. À partir de là, on voit que "graphiquement" ça va poser un problème si n>1 parce que la dimension 4 on a du mal à la visualiser (en identifiant C avec R²).
Si n=1, on a juste la multiplication d'un complexe par un complexe, et si on identifie C avec R² ça donne dans le plan une similitude vectorielle, c'est-à-dire une homothétie composée avec une rotation.
Si n>1, on a quand même une interprétation géométrique, ça va là aussi donner une similitude qui a la particularité de se décomposer coordonnée (complexe) par coordonnée en la même similitude plane (dans R² donc).

Jean-Bob a écrit:

GamerNaab a écrit:

v(DE) = 3v(BA) + 3/2v(AC)
= 9/2v(BC)

Attention sur cette chose là, on a fortement envie d'écrire ça mais ce n'est pas vrai. La raison est que Chasles s'applique uniquement lorsque les coefficients devant les vecteurs sont les mêmes. Ici ce n'est pas le cas car il y a un 3 devant v(BA) et un 3/2 devant v(AC). D'ailleurs si tu factorises comme l'a suggéré Tchus, tu te rends peut-être mieux compte que v(BA) + 1/2 v(AC) n'est pas une situation dans laquelle on peut appliquer Chasles directement.

Alors sinon quelque chose de plus général sur ce genre d'exercices. C'est globalement toujours la même chose (Chasles) mais si on ne fait pas les manips qu'il faut on peut ne jamais s'en sortir. C'est typiquement le genre d'exos où la correction paraît évidente mais on se demande comment on pouvait savoir qu'il fallait appliquer ces manips-là et pas d'autres.
Alors y'a une méthode générale qui marche presque à tous les coups, c'est d'exprimer tous les vecteurs en fonction de 2 vecteurs non colinéaires bien choisis (c'est l'idée de "base", ou de "repère" si vous voulez). Ici, le fait que A, B et C soient non alignés oriente fortement le choix vers deux vecteurs parmi v(AB), v(AC) et v(BC) (ces vecteurs étant deux à deux non colinéaires). Si tu choisis v(AB) et v(AC) par exemple, le jeu c'est ensuite d'exprimer tous les autres vecteurs en fonction de ceux-là (y compris v(BC)). Au final, si tout se passe bien (et les exercices sont en général faits pour que ça se passe bien), tu devrais arriver à quelque chose du genre v(DE) = a * v(AB) + b * v(AC) et v(DF) = k(a * v(AB) + b * v(AC)) avec k, a et b des réels.

C'est une méthode qui n'est pas forcément la plus rapide (car tu fixes au début les deux vecteurs en fonction desquels tu vas exprimer les autres, et ce choix n'est pas forcément le meilleur) mais au moins t'es (presque) sûr d'aboutir et de ne pas t'éparpiller.

Sinon à propos de ça :

Tchus a écrit:

Bon, une petite astuce pour simplifier la notation (c'est pas une astuce mais ça rend plus lisible) : évite de noter -AB, privilégie plutôt BA

je suis d'accord pour dire que ça permet de voir plus facilement les relations de Chasles mais en revanche c'est moins clair pour simplifier des expressions comme 2v(AB) + 3v(BA) par exemple. Perso je préfère garder toujours le même sens et mettre des coefficients négatifs, c'est chacun.

Déjà, à l'intention des autres, j'ai bien lu vos posts, mais si je ne répond qu'à celui là, c'est parce que c'est celui qui m'a le plus aidé on va dire, ou qui me parle le plus en tout cas. Il se peut que vous ayez dis la même chose, mais différemment. Bref, merci pour ton explication, elle m'aide vraiment beaucoup! J'vais essayer de plancher dessus dans l'heure qui suit et vous présenter mes résultats .
Après, pour le choix de la méthode, on nous en a parlé de plusieurs (Oui, prof de math très exigent, mais pas très précis, c'est le comble.). Donc il y a la tienne, où on exprime tout en fonction de deux vecteurs composés des points non alignés, et d'une autre, par résolution vectorielle je crois. A moins que ça ne soit la même chose ?

EDIT :

Bon voila le début de mon raisonnement, à vérifier :

On se place dans un repère (A, AB, AC).

Détermination de v(DE) = v(DA) + v(AE)
= -3v(AB) + 3/2v(AC)
= 3v(BA) + 3/2v(AC)

Détermination de v(DF) = v(DB) + v(BF)
= 2v(BA) + 2v(BC) (Gros doute ici, si vous pouvez m'aider ? En regardant sur ma figure. v(DB) = 2v(BA) ou 2v(AB) ?)
= 2v(BA) + 2.[v(BA) + v(AC)] (Là non plus je ne sais pas si c'est utile. En gros c'est pour bien n'utiliser que AB et AC si j'ai bien compris)
= 2v(BA) + 2v(BA) + 2v(AC)
= 4v(BA) + 2v(AC)
Résolution :

v(DE) = k.[v(DF)]
3v(BA) + 3/2v(AC) = k.[4v(BA) + 2v(AC)]

Et là je ne sais pas comment aller plus loin... A moins que je ne me sois embourbé ? Bien que je vois parfaitement les termes, je ne vois pas comment détacher cette saleté de k, ou le résoudre tout du moins.


Je me suis bien bien creusé la tête, et voila ce qui en est finalement ressortis.

Je trouve que à la place de l'étape résolution je fais ça :

v(DE) = 3v(BA) + 3/2v(AC)
v(DF) = 4v(BA) + 2v(AC)

v(DE) a pour coordonnées : (3; 3/2)
v(DF) a pour coordonnées : (4; 2)

Testons la colinéarité de ces vecteurs.

xy' - x'y = 3*2 - 4*3/2
= 0

Les vecteurs sont donc colinéaires d'après la loi de Chasle. De plus, nous savons que si les vecteurs DE et DF sont colinéaires, alors les points E, D et F sont alignés.

Alors, vous en pensez quoi ? C'est juste, ou gros coup de chance ? Car ça me paraît trop beau pour être vrai :3 !

Les résultats que tu as trouvés pour v(DE) et v(DF) sont bons, il manque juste une justification pour dire que v(DB) = 2v(BA) car comme tu l'as dit tu le vois sur la figure mais une figure ne peut que donner des idées et ne constitue pas une démonstration. Pour prouver ça peux donc considérer que tu es face à un sous-problème où tu dois exprimer v(DB) en fonction de v(AB) et v(AC), donc essaye de faire des transformations avec Chasles comme précédemment.

Une fois que tu es arrivé à v(DE) = 3 v(BA) + 3/2 v(AC) et v(DF) = 4 v(BA) + 2 v(AC) tu as plusieurs façons de conclure.
Tu peux comme tu l'as fait exprimer les vecteurs en fonction de leurs coordonnées dans le repère que tu as choisi. Attention cependant ici, si tu choisis le repère (A, v(AB), v(AC)), tes coordonnées en x devraient être -3 et -4 au lieu de 3 et 4 car v(BA) = -v(AB). Au final ça ne change pas grand chose car tu as tout exprimé en fonction de v(BA) au lieu de v(AB), donc en fait ce que tu as fait réellement c'est que tu t'es placé dans le repère (A, v(BA), v(AC)).
Une autre méthode est de factoriser les deux expressions de tes vecteurs pour obtenir v(DE) = k * (a * v(AB) + b * v(AC)) et v(DF) = k' * (a * v(AB) + b * v(AC)), et tu peux en déduire que v(DE) = k / k' v(DF). Pour mieux voir ça, tu peux oublier que tu as affaire à des vecteurs car maintenant que tu as obtenu une forme "réduite", tu n'as plus de manipulation à faire dessus. Donc si tu appelles x le vecteur AB et y le vecteur AC, tu obtiens : v(DE) = -3 x + 3/2 y et v(DF) = -4 x + 2 y. Quand je parle de factorisation ici c'est une factorisation par des nombres réels, pas question de factoriser par des x ou des y, puisque ce sont tout de même des vecteurs. C'est une technique à utiliser avec parcimonie donc.

Jean-Bob a écrit:

Une autre méthode est de factoriser les deux expressions de tes vecteurs pour obtenir v(DE) = k * (a * v(AB) + b * v(AC)) et v(DF) = k' * (a * v(AB) + b * v(AC)), et tu peux en déduire que v(DE) = k' / k v(DF). Pour mieux voir ça, tu peux oublier que tu as affaire à des vecteurs car maintenant que tu as obtenu une forme "réduite", tu n'as plus de manipulation à faire dessus. Donc si tu appelles x le vecteur AB et y le vecteur AC, tu obtiens : v(DE) = -3 x + 3/2 y et v(DF) = -4 x + 2 y. Quand je parle de factorisation ici c'est une factorisation par des nombres réels, pas question de factoriser par des x ou des y, puisque ce sont tout de même des vecteurs. C'est une technique à utiliser avec parcimonie donc.

Je pense qu'en première S, c'est cette méthode qui est demandée.

Alors, en réponse à tous les deux! Pour Jean-Bob : Je ne comprend pas ce que tu entends par factorisation par nombres réels, et non pas de x ou y.

ça me ferait donc sur ta technique :

v(DE) = -3x + 3/2y
v(DF) = -4x + 2y

Et donc on aurait :

v(DE) = k*(3x + 3/2y)
v(DF) = k'*(-4x + 2y)

Et donc, même sous cette forme je ne vois pas comment tu arrives à v(DE) = k' / k v(DE)

C'est sans doutes très con, mais je ne vois pas.

Tchus -> C'est pourtant la première, comme la deuxième qui m'est demandé . Je dois savoir appliquer les deux.

Merci du soutient en tout cas!

quand tu as
v(DE) = k*(-3x + 3/2y)
v(DF) = k'*(-4x + 2y)
tu peux essayer de trouver des valeurs de k et k' pour avoir autant de x dans les deux expressions (pour les trouver, c'est la même chose que pour mettre 1/-3 et 1/-4 sur le même dénominateur), et si après ça il y a autant de y dans les deux expressions, c'est que tes vecteurs sont colinéaires =)

Voilà ce que j'entends par factoriser par des nombres réels :
si a est réel, ax + ay = a(x + y).
Ou encore, si a, b et c sont réels, abx + acy = a(bx + cy).
Par exemple : 15x + 25y = 5(3x + 5y) ou x / 2 + 4y = 1/2 (x + 8 y)

Ceci dit, ces décompositions ne sont pas uniques, en fait on peut factoriser par n'importe quel réel non nul, le but est d'obtenir une forme plus "simple" à l'intérieur de la parenthèse (sans fraction, sans facteur entier commun comme le facteur 5 dans 15 et 25 par exemple).

Le but est d'obtenir deux expressions proportionnelles, donc si à l'intérieur des parenthèses tu trouves la même chose, c'est gagné. Un exemple :
A = 3x - 6y et B = 5/2 x - 5y.
Alors A = 3(x - 2y) et B = 5/2 (x - 2y)
Or 3(x - 2y) = 3 * 2/5 * 5/2 (x - 2y) donc A = 3 * 2/5 * B, d'où A = c * B avec c = 6/5.

Ici si on note k = 3 et k' = 5/2 comme précédemment, on a bien c = k / k' (pardon j'avais marqué k' / k tout à l'heure, j'ai rectifié).

Donc là attention, quand tu marques v(DE) = k*(3x + 3/2y) et v(DF) = k'*(-4x + 2y) ce n'est pas ce qu'on cherche car on n'a pas la même chose à l'intérieur de la parenthèse (en fait là tu obtiens k = k' = 1).

Je vais m'exprimer plus clairement sur le coup d'avoir "la même chose à l'intérieur de la parenthèse". Si on a v(DE) = k*(...) et v(DF) = k'*(...) avec la même chose à l'intérieur de la parenthèse, ça veut en fait dire que v(DE)/k = v(DF)/k'. D'où en multipliant par k, v(DE) = k / k' v(DF), et c'est ce qu'on veut.

Alors soit tu arrives à trouver directement les k et k' qui conviennent, soit il faut employer d'autres moyens.

Ici ce qu'on veut c'est juste montrer que deux grandeurs sont proportionnelles, c'est ce que tu as fait tout à l'heure par un moyen détourné en utilisant la "loi de Chasles" que je ne connaissais pas sous ce nom-là. Les grandeurs dont je parle sont ici (-3, 3/2) et (-4, 2). Si tu te rappelles tes cours de 4ème sur la proportionnalité, tu avais dû mettre au point à ce moment plusieurs techniques pour vérifier que ces grandeurs sont proportionnelles. On place ces nombres dans un tableau (-3 et 3/2 dans la première ligne et -4 et 2 dans la deuxième) et on vérifie que les deux lignes sont proportionnelles. Pour cela, tu peux par exemple regarder par combien multiplier la première ligne pour arriver à la deuxième, ou, ce qui revient au même, diviser la deuxième par la première, ou faire une règle de trois, ou multiplier les lignes par deux coefficients bien choisis pour obtenir la même ligne en haut et en bas (c'est le coup des k et k' de tout à l'heure), etc...

Tous les coups sont permis. Certaines techniques permettent d'obtenir le coefficient de proportionnalité, et ça te permet de conclure. En effet, trouver un coefficient de proportionnalité c entre les deux lignes revient à dire que c * v(DE) = v(DF) et donc il suffit de parachuter le coefficient que tu as trouvé pour terminer. D'autres techniques (comme la "loi de Chasles" que tu as utilisée ou le produit en croix par exemple) ne permettent pas d'obtenir le coefficient de proportionnalité directement, et dans ce cas il faut introduire les repères que tu as fait tout à l'heure.

Merci les gars de votre aide! J'ai finis mon DM! Peut être persistera-t-il quelques erreurs, mais au moins j'ai compris les mécaniques de résolution, etc. ça me fait franchement plaisir que vous m'ayez aidé, puisque dans ma section, c'est vraiment l'usine. Des classes de 35 élèves, entraîne une impossibilité de poser de grosses questions au professeur, et je finis par être largué.
Bref, merci encore. Je reviendrais de temps en temps je pense, car les Mathématiques..

Comment on peu prouver que abcd est un parallélogramme avec les vecteur merci